朱世杰

元统一中国后，朱世杰曾以数学家的身份周游各地20余年，向他求学的人很多，他到广陵(今扬州)时“踵门而学者云集”。他全面继承了前人数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的《算学启蒙》(3卷)，又写成四元术的代表作--《四元玉鉴》(3卷)，先后于：1299年和1303年刊印.《算学启蒙》由浅入深，从一位数乘法开始，一直讲到当时的最新数学成果――天元术，俨然形成一个完整体系。

书中明确提出正负数乘法法则，给出倒数的概念和基本性质，概括出若干新的乘法公式和根式运算法则，总结了若干乘除捷算口诀，并把设辅助未知数的方法用于解线性方程组.《四元玉鉴》的主要内容是四元术，即多元高次方程组的建立和求解方法.秦九韶的高次方程数值解法和李冶的天元术都被包含在内。

在宋元时期的数学群英中，朱世杰的工作具有特殊重要的意义.如果把诸多数学家比作群山，则朱世杰是最高大、最雄伟的山峰.站在朱世杰数学思想的高度俯瞰传统数学，会有"一览众山小"之感.朱世杰工作的意义就在于总结了宋元数学，使之在理论上达到新的高度.这主要表现在以下三个领域.首先是方程理论.在列方程方面，蒋周的演段法为天元术作了准备工作，他已具有寻找等值多项式的思想，洞渊马与信道是天元术的先驱，但他们推导方程仍受几何思维的束缚，李冶基本上摆脱了这种束缚，总结出一套固定的天元术程序，使天元术进入成熟阶段.在解方程方面，贾宪给出增乘开方法，刘益则用正负开方术求出四次方程正根，秦九韶在此基础上解决了高次方程的数值解法问题.至此，一元高次方程的建立和求解都已实现.而线性方程组古已有之，所以具备了多元高次方程组产生的条件.李德载的二元术和刘大鉴的三元术相继出现，朱世杰的四元术正是对二元术、三元术的总结与提高.由于四元已把常数项的上下左右占满，方程理论发展到这里，显然就告一段落了.从方程种类看，天元术产生之前的方程都是整式方程。

从洞渊到李冶，分式方程逐渐得到发展.而朱世杰，则突破了有理式的限制，开始处理无理方程.其次是高阶等差级数的研究.沈括的隙积术开研究高阶等差级数之先河，杨辉给出包括隙积术在内的一系列二阶等差级数求和公式.朱世杰则在此基础上依次研究了二阶、三阶、四阶乃至五阶等差级数的求和问题，从而发现其规律，掌握了三角垛统一公式.他还发现了垛积术与内插法的内在联系，利用垛积公式给出规范的四次内插公式.第三是几何学的研究.宋代以前，几何研究离不开勾股和面积、体积.蒋周的《益古集》也是以面积问题为研究对象的.李冶开始注意到圆城因式中各元素的关系，得到一些定理，但未能推广到更一般的情形.朱世杰不仅总结了前人的勾股及求积理论，而且在李冶思想的基础上更进一步，深入研究了勾股形内及圆内各几何元素的数量关系，发现了两个重要定理--射影定理和弦幂定理.他在立体几何中也开始注意到图形内各元素的关系.朱世杰的工作，使得几何研究的对象由图形整体深入到图形内部，体现了数学思想的进步。